فرمولهای ریاضی که واسه حل تمرینات ریاضی ششم به کار می آیند

تعداد پاره خط ها و نيم خط ها

1-هرگاه چند نقطه‏ي متمايز(جدا از هم)،بر روي يک خط راست باشند تعداد پاره خط ها از فرمول زير به دست مي آيد.

2 ÷ (تعداد فاصله ها × تعداد نقطه ها ) = تعداد پاره خط ها

توجه : تعداد فاصله‏ها هميشه يکي کم‏تر از تعداد نقطه‏ها است.

2-هرگاه چند نقطه‏ي متمايز،بر روي خط راست باشند، تعداد نيم خط‏ها از فرمول زير،به دست مي آيد.

2 × تعداد نقطه‏ها = تعداد نيم خط‏ها

3-هرگاه چند نقطه‏ي متمايز، برروي يک نيم خط باشند،تعداد نيم خط‏ها مانند مثال زير به دست مي‏آيد.

مثال: برروي يک نيم خط،هفت نقطه‏ي متمايز وجود دارد چند نيم خط،در شکل وجود دارد؟

پس (8 = 1 + 7 ) نقطه داريم يعني 8 نيم خط خواهيم داشت.

4- هرگاه چند نقطه‏ي متمايز، برروي يک پاره خط باشند نيم خطي، درشکل وجود ندارد.

برش و قسمت:

وقتي مي خواهيم يک قطعه يا جسمي رشته مانند را به قسمت هاي مساوي ويا نامساوي تقسيم کنيم هميشه تعداد قسمت‏ها يکي بيش‏تر از تعداد برش‏ها است.

مثال: يک آهنگر , ميله اي به طول 12 متر را به چهار قسمت تقسيم کرد او براي اين کار چند برش زده است؟

برش                3 = 1 – 4 (قسمت)

مجموع و اختلاف:

هرگاه مجموع دو عدد و اختلاف آن دو عدد را به ما بدهند و آن دو عدد را از ما بخواهند، از دو راه زير به دست مي‏آيد.

1-اگر مجموع واختلاف را از هم کم کرده،بر2 تقسيم کنيم عدد کوچک‏تر به دست مي‏آيد.

2- اگر مجموع واختلاف را با هم جمع کرده،بر2 تقسيم کنيم عدد بزرگ‏تربه دست مي‏آيد.

تعداد يک رقم در يک مجموعه‏ي اعداد متوالي

1-از عدد1 تا 99 از همه‏ي رقم‏ها 20 تا داريم به جز رقم(صفر)،که از آن 9 تا داريم.

2-از عدد 100تا 199 از همه‏ي رقم‏ها 20تا داريم به جز رقم(يک)،که از آن 120 تا داريم.

3- از عدد 200تا 299 از همه‏ي رقم‏ها 20تا داريم به جز رقم(دو)،که از آن 120 تا داريم و ...

تعداد اعداد

در مجموعه اعداد طبيعي (از يک شروع مي‏شود)تعداد اعداد يک رقمي9 تا،اعداد دو رقمي 90تا،اعداد سه رقمي 900تا،اعداد چهاررقمي 9000 تاو... مي باشد.

تعيين تعداد عددهاي صحيح يک مجموعه‏ي اعداد متوالي

1-اگر تعداداعداد،از عدد اولي تا عدد آخري مورد نظر باشد از فرمول زير،استفاده مي‏شود.

1 + (عدد اولي – عدد آخري) = تعداد اعداد

مثال: از عدد27 تا عدد 1027 چند عدد صحيح (عددي که کسري و اعشاري نباشد) وجود دارد؟                 

تعداد اعداد   1001 = 1+(27 – 1027 )

 2-اگر تعداد اعداد،بين دو عدد اولي و آخري مورد نظر باشد از فرمول زير،استفاده مي‏شود.

1 – ( عدد اولي – عدد آخري) = تعداد اعداد

3- اگر تعداد اعداد زوج و يا فرد يک مجموعه‏ي اعداد متوالي مورد نظر باشد از فرمول‏هاي زير استفاده مي‏شود.

1+ 2÷(کوچک‏ترين عدد زوج – بزرگ‏ترين عدد زوج) = تعداد اعداد زوج

1 + 2÷(کوچک‏ترين عدد فرد – بزرگ‏ترين عدد فرد) = تعداد اعداد فرد

مثال: از عدد 45تا 158چند عدد زوج وچند عدد فرد وجود دارد؟

57= 1 + 2 ÷ (46 – 158 ) = تعداد اعداد زوج

57 = 1 + 2 ÷ ( 45 – 157 )= تعداد اعداد فرد

مجموع اعداد صحيح متوالي

1-براي محاسبه‏ي مجموع اعداد صحيح متوالي،از فرمول زير استفاده مي‏شود.

2 ÷ (تعداد اعداد × مجموع عدد اولي وعدد آخري ) = مجموع اعداد صحيح متوالي

مثال: محموع اعداد صحيح از 1 تا 100 را به دست آوريد؟

مجموع اعداد           5050 = 2 ÷ 100( × (100 + 1 ))

2- براي محاسبه مجموع اعداد صحيح فرد متوالي که از عدد(يک) شروع  

مي‏شوندويا مجموع اعداد صحيح زوج متوالي‏که‏ازعدد(دو)شروع مي‏شوند

علاوه بر فرمول قبلي،مي‏توانيم از فرمول هاي زير استفاده کنيم.

                تعداد اعداد × تعداد اعداد = مجموع اعداد صحيح فرد متوالي

       (1 + تعداد اعداد) × تعداد اعداد = مجموع اعداد صحيح زوج متوالي

مثال: مجموع اعداد صحيح زوج و مجموع اعداد صحيح فرد متوالي از 1 تا100 را به دست آوريد؟

از 1 تا 100 ، 50تا فرد و 50 تا زوج هستند.

2500 = 50 × 50 = تعداد اعداد صحيح فرد متوالي

2550 = 51 × 50 = تعداد اعداد صحيح زوج متوالي

عدد وسطي

هرگاه مجموع چند عدد صحيح متوالي (با فاصله هاي يکسان) را بدهند و آن اعداد را بخواهند ،مجموع آن اعداد را بر تعدادشان تقسيم کرده،عدد وسطي به دست مي‏آيد.

1- اگر تعداد اعدادفرد باشد مانندمثال زير عمل،مي کنيم.

مثال: مجموع 5 عدد صحيح متوالي 75 مي‏باشدکوچک‏ترين عدد را به دست آوريد؟                                    

عدد وسطي                           15 = 5 ÷ 75

75 = 17 + 16 + 15 + 14 + 13

2- اگر تعداد اعداد زوج باشد مانند مثال زير عمل مي کنيم.

مثال: مجموع 6 عدد صحيح فرد متوالي 96 مي باشد يزرگ ترين عدد را به دست آوريد؟           

عدد وسطي               16 = 6  ÷ 96

رقم يکان

1- هرگاه چند عدد زوج را با هم جمع کنيم رقم يکان حاصل جمع،حتماً زوج خواهد شد.

2- هرگاه چند عدد فرد را با هم جمع کنيم رقم يکان حاصل جمع،ممکن است زوج باشد يا فرد.

اگر تعداد اعداد،فرد باشد رقم يکان حاصل جمع،فرد مي‏شود و بلعکس

3-هرگاه عدد زوجي را هرچند بار در خودش ضرب کنيم رقم يکان حاصل ضرب،حتماً زوج خواهد بود.

 

کسر بين دو کسر

براي نوشتن کسر بين دو کسر،کافي است صورت‏ها را با هم و مخرج‏ها را نيز را باهم جمع کرد به مثال زير توجه کنيد.

سه کسر بين دو کسر  نوشته شده است.

بخش پذيري

بخش پذيري بر 11 : از سمت چپ شروع مي کنيم و ارقام را يکي در ميان با هم جمع مي کنيم و بعد حاصل را از هم کم مي‏کنيم و حاصل تفريق را بر 11 تقسيم مي‏کنيم،اگر باقي مانده صفر شود بر 11 بخش پذير است.

مثال: آيا عدد 32121456 بر 11 بخش‏پذير است؟

تقسيم کسرها:

تقسيم کسر‏ها را به سه روش زير، مي توانيم انجام دهيم.

1- اگر مخرج‏ها مساوي باشند از مخرج‏ها صرف نظر کرده صورت کسر اول را بر صورت کسر دوم تقسيم مي‏کنيم.

اما اگر مخرج‏ها مساوي نباشند مخرج مشترک گرفته و مخرج‏ها را مساوي مي‏کنيم سپس صورت کسر اول را بر صورت کسر دوم تقسيم مي‏کنيم.

2- کسر اول را نوشته، علامت تقسيم را به ضرب تبديل کرده و سپس کسر دوم را معکوس مي کنيم و عمل ضرب را انجام مي دهيم.

3- دور در دور و نزديک در نزديک: از اين روش، فقط در مواقعي که لازم باشد استفاده مي کنيم.

نسبت و تناسب :

1- تناسب زماني : در اين نوع تناسب، زمان تغييري نمي کند.

مثال : اگر 4 پيراهن روي طناب در مدت زمان يک ساعت خشک شوند 8 پيراهن در همان شرايط در همان يک ساعت خشک مي شود.

2- تناسب مستقيم : اگر قيمت يک تخم مرغ 100 تومان باشد 5 تخم مرغ 500 تومان مي شود يعني با افزايش تعداد تخم مرغ ها، قيمت خريد تخم مرغ ها نيز به همان نسبت افزايش مي يابد.

3- تناسب معکوس : گاهي اوقات کميت ها با هم نسبت عکس دارند يعني هرچه يکي را زياد کنيم به همان نسبت ، ديگري هم کم مي شود. در اين حالت مي گوييم تناسب معکوس است. مثلاً اگر2 کارگر، کاري را در مدّت 6 روز انجام مي دهند ،4 کارگر، همان کار را در مدت 3 روز انجام مي دهند.

زاويه‏ي بين دو عقربه ‏ي ساعت شمار و دقيقه شمار:

براي محاسيه زاويه‏ي بين دو عقربه‏ي ساعت شمار و دقيقه شمار ، مقدار ساعت را در عدد 30 ضرب کرده، مقدار دقيقه را در عدد5/5 ضرب کرده، عدد کوچک تر را از عدد بزرگ تر کم مي کنيم. در صورتي که جواب به دست آمده از 180 درجه بيش‏تر باشد آن را از 360 کم مي کنيم.

مثال: زاويه اي که دو عقربه ي ساعت شمار و دقيقه شمار در ساعت 1:50 مي سازند چند درجه است؟


مجموع زواياي داخلي چند ضلعي ها:

براي اين که مجموع زاويه هاي داخلي هر چند ضلعي رامحاسبه کنيم ، تعداد ضلع ها را منهاي 2 نموده ، در 180 ضرب مي کنيم.

180 × (2 – تعداد ضلع ها ) = مجموع زاويه هاي داخلي

مثال : مجموع زاويه هاي داخلي يک 5 ضلعي را به دست آوريد؟

درجه 540 = 180× (2 – 5 ) : پنج ضلعي

 

تعداد قطرهاي چندضلعي ها:

از تعداد ضلع ها، 3 تا کم کرده، جواب را در تعداد ضلع ها ضرب کرده و سپس جواب را بر 2 تقسيم مي کنيم.

2÷ تعداد ضلع ها × ( 3 -  تعداد ضلع ها ) = تعداد قطرها

از هر راس چند ضلعي به اندازه‏ي (3- تعدا ضلع ها ) قطر مي گذرد. مثلا از يک راس چهار ضلعي ( 1= 3 – 4) يک قطر مي گذرد.

مثال : يک شش ضلعي چند قطر دارد؟

تعداد قطرها          9= 2 ÷ 6 × ( 3 – 6 )

 

تعداد زاويه ها:

هرگاه در چند زاويه ي مجاور که داراي راس مشترک هستند ، بخواهيم تعداد زاويه ها را تعيين کنيم ، از فرمول زير استفاده مي کنيم.

                     2 ÷ (تعداد فاصله ها× تعداد نيم خط ها ) = تعداد زاويه ها

توجه : تعداد فاصله ها،از تعداد نيم خط ها يکي کم تر است.

مثال : در شکل روبرو چند زاويه وجود دارد؟

 

ارتفاع وارد بر وتر:

براي محاسبه ارتفاع وارد بر وتر ، مي توانيم از فرمول زير استفاده کنيم.

     وتر ÷ حاصل ضرب دو ضلع زاويه‏ي قائمه= ارتفاع واردبر وتر

مثال : اگر دو ضلع زاويه‏ي قائمه مثلث قائم الزاويه‏اي 5 و 12 س باشدووتر آن 15 س باشد.طول ارتفاع وارد بر وتر آن چقدر است؟

 

توضيحي درموردبرخي واژه ها دررياضي

سه بعدي
    

شکل هاي سه بعدي ، در سه جهت بعد دارند ، طول ، عرض و ارتفاع . مکعب مستطيل و منشور

و . . . جسم هاي سه بعدي اند . جسم هاي سه بعدي ممکن است تو پر يا تو خالي باشند .

                                                                                                    

وجه
    

به هر يک از سطح هاي تخت يا خميده ي شکل هاي سه بعدي ، وجه مي گويند . مکعب شش

وجه ، استوانه سه وجه و کره يک وجه دارد .                                                                   

يال
    

به محل برخورد وجه هاي هر شکل سه بعدي ، يال مي گويند . مکعب 12 يال دارد و کره هيچ

يالي ندارد .

                                                                                                                     

دو بعدي
    

به اندازه هاي يک شکل ، بعد مي گويند . شکل هاي دو بعدي ، سطح صاف اند و در دو جهت

بعد دارند . طول و عرض مثلث ، مربع ، مستطيل ، ذوزنقه ، دايره و ... شکل هاي دو بعدي اند

چند وجهي
    

چند وجهي ، جسمي سه بعدي است که وجه هاي آن صفحه ي تخت باشند . مکعب مستطيل ،

مکعب و هرم ، چند نمونه از چند وجهي ها هستند .

چند وجهي

 منتظم
    

جسمي سه بعدي است که تمام وجه هاي آن چند ضلعي هاي منتظم يکسان باشند . فقط پنج

نوع چند ضلعي منتظم وجود دارد : چهار وجهي ، مکعب ، هشت وجهي ، دوازده وجهي ، بيست

 

ليتر
    

ليتر يکي از واحد هاي اندازه گيري حجم و گنجايش است . هر ليتر برابر است با حجم مکعبي که

طول هر ضلع آن 10 سانتي متر باشد .

جسم فضايي
    

جسم هاي سه بعدي ، جسم فضايي اند . يعني طول ، عرض و ارتفاع دارند . مکعب مستطيل

کره و مخروط جسم فضايي اند .

حجم
    

مقدار فضايي است که چيزي اشغال مي کند . حجم جسم هاي سه بعدي را با سانتي متر مکعب

، متر مکعب ، ليتر ، ميلي ليتر ، يا گالن اندازه گيري مي کنند .

گنجايش
    

گنجاي هر چيز ، بيشترين مقداري است که مي تواند در خود جاي دهد . مثلا گنجايش سطل ،

مخزن سوخت اتومبيل  . گنجايش را معمولا با واحد هاي ليتر ، سانتي متر مکعب ، متر مکعب

گالن و . . . اندازه گيري مي کنند .